首先注意四边形 MECD 两组对边之和相等。 即 MD+EC =ME+DC； 这是因为四边形每个顶点， 都引出两条相等的线段， 与圆相切于两侧。 ME + DC 就是由四个顶点一侧的切线组成， 而MD+EC 是由四个顶点的另一侧切线组成。 所以两者相等。

另一方面， 由于BE 是中线， EC = 1/2 AC, 而M 是两条中线的交点， 故MD = 1/3 AD. 如果我们用 L(BC) BC 边的中线， 就有

1/2 AC + 1/3L(BC) = 1/2(BC) + 1/3L(AC)；

但是长边中线短， 短边中线长， 可以从下图中很直观地看出。



我们暂时承认这个事实。 那么， 如果 AC > BC, 则 L(BC) > L(AC) 就有 1/2 AC + 1/3L(BC) > 1/2(BC) + 1/3L(AC)，
如果 AC < BC, 则 L(BC) < L(AC) 就有 1/2 AC + 1/3L(BC) < 1/2(BC) + 1/3L(AC), 都与两者相等矛盾。 所以一定是

AC = BC。

下面来证明“长边中线短， 短边中线长”。 三角形其实还有“长边垂线短， 短边垂线长”， “大角平分线短， 小角平分线长”类似命题。 不过现在我们只关心中线。证明的方法是找出三角形三条边与中线的关系， 然后再推出结论。



上图中，a,b,c 是三角形的三条边， L 是a 边的中线， d 是a 边中点与 a 边高线垂足之间的距离。 剩下的就是勾股定理了。

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2021-04-27 02:39:59