俺们用 \(f\circ g\) 表示函数 \(f\) 与 \(g\) 的复合，并以 \({\bf 1}\) 表示恒等映射。 特令 \(g(x)=(x-1)/(3x+1)\)，则题中的函数方程可写成
\[
f\circ g\circ g+f\circ g={\bf 1}~~~~~~~~~~~~~~~~(1)
\]
(1) 式两边与 \(g\) 复合得
\[
f+f\circ g\circ g=g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)
\]
又将 (1) 与反函数 \(g^{-1}=g\circ g\) 复合得
\[
f\circ g+f=g\circ g
\]
该式减去 (1)
\[
f-f\circ g\circ g=g\circ g-{\bf 1}~~~~~~~~~(3)
\]
合并 (2) 和 (3)
\[
f=\frac{1}{2}(g+g\circ g-{\bf 1})~\Rightarrow~f(x)=\frac{1}{2}\left[\frac{x-1}{3x+1}+\frac{x+1}{-3x+1}-x\right]=-\frac{x(9x^2+7)}{2(9x^2-1)}
\]
\[
f\circ g\circ g+f\circ g={\bf 1}~~~~~~~~~~~~~~~~(1)
\]
(1) 式两边与 \(g\) 复合得
\[
f+f\circ g\circ g=g~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)
\]
又将 (1) 与反函数 \(g^{-1}=g\circ g\) 复合得
\[
f\circ g+f=g\circ g
\]
该式减去 (1)
\[
f-f\circ g\circ g=g\circ g-{\bf 1}~~~~~~~~~(3)
\]
合并 (2) 和 (3)
\[
f=\frac{1}{2}(g+g\circ g-{\bf 1})~\Rightarrow~f(x)=\frac{1}{2}\left[\frac{x-1}{3x+1}+\frac{x+1}{-3x+1}-x\right]=-\frac{x(9x^2+7)}{2(9x^2-1)}
\]
