第一题：如图



取 \(A\) 点为坐标原点，设 \(AB\) 长度为 \(\ell\)，红色圆周的圆心坐标为 \((x,y)\)，由圆心之间已知的距离及中、右圆均切于矩形顶边之事实，可列出方程组
\[
\left.\begin{array}{l}
x^2+(y-3)^2=49
\\
(x-\ell)^2+(y-6)^2=100
\\
y+4=12
\end{array}\right\}\Rightarrow\left\{
\begin{array}{l}
x=2\sqrt{6}
\\
y=8
\\
\ell=6\sqrt{6}
\end{array}\right.
\]

现设 \(C,D,E\) 的圆心角分别为 \(\theta_C,\theta_D,\theta_E\)，根据余弦规则
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle
\cos\theta_C=\frac{\vert CB\vert^2+\vert CD\vert^2-\vert BD\vert^2}{2\vert CB\vert\cdot\vert CD\vert}=\frac{6^2+10^2-[(4\sqrt{6})^2+8^2]}{2\cdot 6 \cdot 10}=-\frac{1}{5}
\\
\displaystyle
\cos\theta_D=\frac{\vert DC\vert^2+\vert DE\vert^2-\vert CE\vert^2}{2\vert DC\vert\cdot\vert DE\vert}=\frac{10^2+7^2-[(6\sqrt{6})^2+3^2]}{2\cdot 10\cdot 7}=-\frac{19}{35}
\\
\displaystyle
\cos\theta_E=\frac{\vert EA\vert^2+\vert ED\vert^2-\vert AD\vert^2}{2\vert EA\vert\cdot\vert ED\vert}=\frac{3^2+7^2-[(2\sqrt{6})^2+8^2]}{2\cdot 3\cdot 7}=-\frac{5}{7}
\end{array}
\]

从上列结果容易读出五边形 \(ABCDE\) 的面积
\[
{\cal A}=3x+\frac{1}{2}x(y-3)+6(\ell-x)+\frac{1}{2}(\ell -x)(y-6)=39\sqrt{6}\approx 95.53
\]
以及其中的扇形区域占据的总面积
\[
{\cal B}=\frac{6^2}{2}\theta_C+\frac{4^2}{2}\theta_D+\frac{3^2}{2}\theta_E=18\arccos\left(-\frac{1}{5}\right)+8\arccos\left(-\frac{19}{35}\right)+\frac{9}{2}
\arccos\left(-\frac{5}{7}\right)\approx 59.70
\]

于是本题所求之面积为
\[
{\cal A}-{\cal B}\approx 35.83
\]

第二题：运用对数的换底公式
\[
\log_6 72=\frac{\log_{12}72}{\log_{12}6}=\frac{\log_{12}(12^2/2)}{\log_{12}(12/2)}=\frac{2-a}{1-a}
\]

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2021-09-06 16:48:23