【问题】任意选定区间 \([0,1]\) 中的三个比例系数 \(\alpha,\beta,\gamma\)。如图，分别在三角形顶点 \(A,B,C\) 的对边上取点 \(A',B',C'\)，使得下列线段长度比满足
\[
\frac{\vert BA'\vert}{\vert BC\vert}=\alpha,\qquad\frac{\vert CB'\vert}{\vert CA\vert}=\beta,\qquad\frac{\vert AC'\vert}{\vert AB\vert}=\gamma
\]
试求由直线 \(AA',BB',CC'\) 围成的三角形 \(\triangle PQR\) 与原三角形 \(\triangle ABC\) 的面积之比
\[
\rho(\alpha,\beta,\gamma)=\frac{\Vert\triangle PQR\Vert}{\Vert\triangle ABC\Vert}
\]

【注】系数 \(\alpha,\beta,\gamma\) 取某些特殊值的面积比 \(\rho(\alpha,\beta,\gamma)\) 是已知的。例如，当 \(\alpha=\beta=\gamma=0\) 时，\(A'\) 点与 \(B\) 点重合，\(B'\) 点与 \(C\) 点重合，\(C'\) 点与 \(A\) 点重合，故 \(\triangle PQR\) 和 \(\triangle ABC\) 构成完全相同的三角形，此时显然有 \(\rho(0,0,0)=1\)；类似的考虑可推断出 \(\rho(1,1,1)=1\)。

又当 \(\alpha=\beta=\gamma=\frac{1}{2}\) 时，线段 \(AA',BB',CC'\) 构成 \(\triangle ABC\) 的三条中线，交于该三角形的重心；此时 \(\triangle PQR\) 退化成一个点，故有 \(\rho(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})=0\)。

除了上述两种极端情形，人们也求出了 \(\alpha=\beta=\gamma=\frac{1}{3}\) 时的面积比，\(\rho(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})=\frac{1}{7}\)。这个结果的一个直观讨论详见油管视频：



【\(\rho(\alpha,\beta,\gamma)\) 的一般确定】对于一般的 \(\alpha,\beta,\gamma\)，似乎很难用直观几何手段进行推导，这里俺试着用解析几何的办法来建立 \(\rho(\alpha,\beta,\gamma)\) 的表达式。将底边 \(BC\) 置于横轴上，取 \(B\) 为坐标原点，并设 \(A,C\) 的坐标分别是 \((u,v)\) 和 \((a,0)\)。根据这些设定，容易写出三角形 \(\triangle ABC\) 的面积
\[
\Vert\triangle ABC\Vert=\frac{av}{2}
\]

直线 \(AA'\) 经过点 \((u,v)\) 及 \((\alpha a,0)\)，故其直线方程读作
\[
AA':\quad\fbox{\(\displaystyle y=\frac{v}{u-\alpha a}(x-\alpha a)\)}
\]
类似的考虑导致了直线 \(BB'\) 和 \(CC'\) 的方程
\[
\begin{array}{l}
BB':\quad\fbox{\(\displaystyle y=\frac{\beta v}{a-\beta(a-u)}x\)}
\\
CC':\quad\fbox{\(\displaystyle y=\frac{(1-\gamma)v}{(1-\gamma)u-a}(x-a)\)}
\end{array}
\]
联立这三个线性方程中的任何两个方程，即可解出相应直线的交点坐标
\[
\begin{array}{l}
P\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
x_1=\frac{\alpha[(1-\beta)a+\beta u]}{1-\beta+\alpha\beta}
\\
\displaystyle
y_1=\frac{\alpha\beta v}{1-\beta+\alpha\beta}
\end{array}\right.
\\
Q\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
x_2=\frac{(1-\gamma)[(1-\beta)a+\beta u]}{1-\gamma+\beta\gamma}
\\
\displaystyle
y_2=\frac{\beta(1-\gamma)v}{1-\gamma+\beta\gamma}
\end{array}\right.
\\
R\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle
x_3=\frac{\alpha\gamma a+(1-\alpha)(1-\gamma)u}{1-\alpha+\alpha\gamma}
\\
\displaystyle
y_3=\frac{(1-\alpha)(1-\gamma)v}{1-\alpha+\alpha\gamma}
\end{array}\right.
\end{array}
\]

代入三角形 \(\triangle PQR\) 的面积公式
\[
\begin{array}{lll}
\Vert\triangle PQR\Vert &=&\displaystyle\frac{1}{2}\Big[(x_1y_2-y_1x_2)+(x_2y_3-y_2x_3)+(x_3y_1-y_1x_3)\Big]
\\
&=&\displaystyle
\frac{av}{2}\cdot\frac{[\alpha\beta\gamma-(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)]^2}{(1+\alpha\beta-\beta)(1+\beta\gamma-\gamma)(1+\gamma\alpha-\alpha)}
\end{array}
\]
因此得到面积比 \(\Vert\triangle PQR\Vert/\Vert\triangle ABC\Vert\) 的一般表达式
\[
\fbox{\(\displaystyle \rho(\alpha,\beta,\gamma)=\frac{[\alpha\beta\gamma-(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)]^2}{(1+\alpha\beta-\beta)(1+\beta\gamma-\gamma)(1+\gamma\alpha-\alpha)}\)}
\]

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2021-09-10 07:33:31