为“自给自足”起见，这次俺仍然不使用 Stengel 定理，但要用到 \(P\) 点的纵坐标 (这求起来并不烦难)。如图，



整个三角形 \(\triangle ABC\) 扣除灰色阴影部分 \(\triangle PQR\) 之后，剩余区域的面积为
\[
\begin{array}{ll}
&\displaystyle \Vert\triangle ABC\Vert-\Vert\triangle PQR\Vert
=&\displaystyle
\Vert\triangle ABA'\Vert+\Vert\triangle BCB'\Vert+\Vert\triangle CAC'\Vert
-\Vert\triangle BA'P\Vert-\Vert\triangle CB'Q\Vert-\Vert\triangle AC'R\Vert
\end{array}
\label{sub}\tag{1}
\]
右式中减除了三角形 \(\triangle ABA',\triangle BCB',\triangle CAC'\) 的公共部分，这些面积被重复计入了。

注意到 \(\triangle ABA'\) 与 \(\triangle ABC\) 有共同的高，但底边长伸缩了 \(\alpha\) 倍，故这两个三角形的面积之间有关系式 \(\Vert\triangle ABA'\Vert=\alpha\Vert\triangle ABA'\Vert\)。同理，\(\Vert\triangle BCB'\Vert=\beta\Vert\triangle ABC\Vert, \Vert\triangle CAC'=\gamma\Vert\triangle ABC\Vert\)。另外，因 \(P\) 点的纵坐标 \(y_1=\alpha\beta v/(1+\alpha\beta-\beta)\)，俺们有
\[
\Vert\triangle BA'P\Vert=\frac{1}{2}\alpha a\cdot y_1=\frac{\alpha^2\beta}{1+\alpha\beta-\beta}\Vert\triangle ABC\Vert
\]
根据对称性 (必要时不妨重新架设坐标系)，三角形 \(\triangle CB'Q, \triangle AC'R\) 的面积公式可在上式中通过轮换 \(\alpha\to\beta\to\gamma\) 得出：
\[
\Vert\triangle CB'Q\Vert=\frac{\beta^2\gamma}{1+\beta\gamma-\gamma}\Vert\triangle ABC\Vert,\qquad
\Vert\triangle CA'R\Vert=\frac{\gamma^2\alpha}{1+\gamma\alpha-\alpha}\Vert\triangle ABC\Vert
\]
将这些结果代入 \eqref{sub}，两边除以 \(\Vert\triangle ABC\Vert\) 得
\[
\begin{array}{lll}
1-\rho(\alpha,\beta,\gamma)&=&\displaystyle
\alpha+\beta+\gamma-\frac{\alpha^2\beta}{1+\alpha\beta-\beta}
-\frac{\beta^2\gamma}{1+\beta\gamma-\gamma}-\frac{\gamma^2\alpha}{1+\gamma\alpha-\alpha}
\\
&=
&\displaystyle
\frac{\alpha(1-\beta)}{1+\alpha\beta-\beta}+\frac{\beta(1-\gamma)}{1+\beta\gamma-\gamma}+\frac{\gamma(1-\alpha)}{1+\gamma\alpha-\alpha}
\end{array}
\]

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2021-09-11 09:41:29