\[
\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-1
\]
根据题设，上式右边为零，故 \(a=-b,~b=-c,~c=-a\) 三者中必有一成立；不妨设 \(a=-b\)，则有 \(c=a+b+c=2022\)，故得
\[
\frac{1}{a^{2023}}+\frac{1}{b^{2023}}+\frac{1}{c^{2023}}=\frac{1}{c^{2023}}=\frac{1}{2022^{2023}}
\]
\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-1
\]
根据题设，上式右边为零，故 \(a=-b,~b=-c,~c=-a\) 三者中必有一成立；不妨设 \(a=-b\)，则有 \(c=a+b+c=2022\)，故得
\[
\frac{1}{a^{2023}}+\frac{1}{b^{2023}}+\frac{1}{c^{2023}}=\frac{1}{c^{2023}}=\frac{1}{2022^{2023}}
\]
锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2022-03-11 02:33:26
