设 \(O\) 为复平面原点，\(A,B,C\) 的复坐标分别为 \(a,b,z\)。根据题中条件，容易写出
\[
\begin{array}{l}
\vert a\vert=\vert b\vert=13,\quad \vert a-b\vert=\sqrt{(8-1)^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{52}
\\
\displaystyle
\left(\frac{\vert a+b\vert}{2}\right)^2+\left(\frac{\vert a-b\vert}{2}\right)^2=\vert a\vert^2 \Rightarrow \vert a+b\vert=4\sqrt{39}
\\
\displaystyle
\frac{a-b}{a+b}=\frac{\vert a-b\vert}{\vert a+b\vert}e^{i\pi/2}=\frac{\sqrt{52}}{4\sqrt{39}}i=\frac{i}{2\sqrt{3}}
\\
\displaystyle
a\bar{b}+\bar{a}b=(a+b)(\bar{a}+\bar{b})-(\vert a\vert^2+\vert b\vert^2)=286
\\
\displaystyle
a\bar{b}-\bar{a}b=(a+b)(\bar{a}-\bar{b})-\vert a\vert^2+\vert b\vert^2=\vert a+b\vert^2\cdot\overline{\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}=-624\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}i=-104\sqrt{3}i
\\
\displaystyle
\vert a-z\vert=8,\quad\vert b-z\vert=2,\quad\arg\frac{a-z}{b-z}=\frac{\pi}{3}
\\
\displaystyle
\frac{a-z}{b-z}=\frac{\vert a-z\vert}{\vert b-z\vert}e^{i\arg\frac{a-z}{b-z}}
=\frac{8}{2}\cdot\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=2(1+\sqrt{3}i)
\end{array}
\]
由最后一式解出
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle
z=\frac{1}{13}\left[(2\sqrt{3}i-1)a+(14-2\sqrt{3}i)b\right]
\\
\displaystyle
\vert z\vert^2=\frac{1}{13^2}\left[13\vert a\vert^2+208\vert b\vert^2-26(a\bar{b}+\bar{a}b)+26\sqrt{3}i(a\bar{b}-\bar{a}b)\right]=225
\end{array}
\]
因此所求的 \(OC\) 长度为 \(\vert z\vert=15\)。