俺记得踏并兄的平面几何底子也不错，可惜他有很长一段时间没来玩了。

试用正弦函数的一种证明：设正七边形的中心到任一顶点的距离为 \(L\)，相邻顶点对中心的张角是 \(\theta=2\pi/7\)。简单的三角关系给出
\[
\begin{array}{l}
a=2L\sin(\theta/2)=2L\sin(\pi/7)
\\
b=2L\sin\theta=2L\sin(2\pi/7)
\\
c=2L\sin(3\theta/2)=2L\sin(3\pi/7)=2L\sin(4\pi/7)
\end{array}
\]
于是有
\[
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2L}\left[\frac{1}{\sin(2\pi/7)}+\frac{1}{\sin(4\pi/7)}\right]=\frac{1}{2L}\cdot\frac{\sin(2\pi/7)+\sin(4\pi/7)}{\sin(2\pi/7)\sin(4\pi/7)}
\\
\displaystyle~~~~~~~~~~~\,\,
=\frac{1}{2L}\cdot\frac{2\cos(\pi/7)\cancel{\sin(3\pi/7)}}{\sin(2\pi/7)\cancel{\sin(4\pi/7)}}=\frac{1}{2L}\cdot\frac{2\cos(\pi/7)}{2\sin(\pi/7)\cos(\pi/7)}=\frac{1}{a}
\end{array}
\]