像其他统计学问题一样，都以概率论为基础，大量使用统计学语言、术语和办法，但因为你对统计学一窍不通，却根本不知道他们说的是统计和统计学问题，就以为这些问题根本不是论述统计和统计学问题。
再给你几篇（很多数学式无法显示，请读原文）：
其中：“统计模拟法、统计试验法。是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。”
“蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。”
都明明白白，说的就是属于统计学范畴的统计问题。使用的都是地地道道的统计学语言和术语。尤其“按抽样调查法求取统计值”“通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值”，等等，明明白白就是统计和统计学问题及术语。
（一）、百度：
https://baike.baidu.com/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%B3%95/1225057
“蒙特卡罗法也称统计模拟法、统计试验法。是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。蒙特卡罗是摩纳哥的著名赌城，该法为表明其随机抽样的本质而命名。故适用于对离散系统进行计算仿真试验。在计算仿真中，通过构造一个和系统性能相近似的概率模型，并在数字计算机上进行随机试验，可以模拟系统的随机特性。“
（二）、MBA智库百科
蒙特卡罗方法
https://wiki.mbalib.com/wiki/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%96%B9%E6%B3%95
未验证，无法复制，请读原文。
（三）、一文详解蒙特卡洛（Monte Carlo）法及其应用
图灵的猫.
已于 2022-09-18 10:17:54 修改
http://nooverfit.com/wp/%E7%94%A8%E4%BA%BA%E8%AF%9D%E8%A7%A3%E9%87%8A%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%98%AF%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97monte-carlo-method%E6%96%B9%E6%B3%95/
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概述
蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。
它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
π的计算
第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
无意识统计学家法则（Law of the unconscious statistician）
这是本文后续会用到的一个定理。作为一个预备知识，我们首先来介绍一下它。先来看一下维基百科上给出的解释。
In probability theory and statistics, the law of the unconscious statistician (sometimes abbreviated LOTUS) is a theorem used to calculate the 期望值 of a function g(X) of a 随机变量 X when one knows the probability distribution of X but one does not explicitly know the distribution of g(X). The form of the law can depend on the form in which one states the probability distribution of the 随机变量 X.
If it is a discrete distribution and one knows its PMF function ƒX (but not ƒg(X)), then the 期望值 of g(X) is
E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)
where the sum is over all possible values x of X.
If it is a continuous distribution and one knows its PDF function ƒX (but not ƒg(X)), then the 期望值 of g(X) is
E[g(X)]=∫∞−∞g(x)fX(x)dx
LOTUS到底表达了一件什么事呢？它的意思是：已知随机变量X的概率分布，但不知道g(X)的分布，此时用LOTUS公式能计算出函数g(X)的数学期望。LOTUS的公式如下：
X是离散分布时
E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)
X是连续分布时
E[g(X)]=∫∞−∞g(x)fX(x)dx
其实就是在计算期望时，用已知的X的PDF（或PMF）代替未知的g(X)的PDF（或PMF）。
蒙特卡洛求定积分（一）：投点法
这个方法也常常被用来求π值。现在我们用它来求函数的定积分。如下图所示，有一个函数f(x)，若要求它从a到b的定积分，其实就是求曲线下方的面积。这时我们可以用一个比较容易算得面积的矩型罩在函数的积分区间上（假设其面积为Area）。然后随机地向这个矩形框里面投点，其中落在函数f(x)下方的点为绿色，其它点为红色。然后统计绿色点的数量占所有点（红色+绿色）数量的比例为r，那么就可以据此估算出函数f(x)从a到b的定积分为Area×r。
注意由蒙特卡洛法得出的值并不是一个精确之，而是一个近似值。而且当投点的数量越来越大时，这个近似值也越接近真实值。
蒙特卡洛求定积分（二）：期望法
下面我们来重点介绍一下利用蒙特卡洛法求定积分的第二种方法——期望法，有时也成为平均值法。
任取一组相互独立、同分布的随机变量{Xi}，Xi在[a,b]上服从分布律fX，也就是说fX是随机变量X的PDF（或PMF），令g∗(x)=g(x)fX(x)，则g∗(Xi)也是一组独立同分布的随机变量，而且（因为g∗(x)是关于x的函数，所以根据LOTUS可得）
E[g∗(Xi)]=∫bag∗(x)fX(x)dx=∫bag(x)dx=I
由强大数定理
Pr(limN→∞1N∑i=1Ng∗(Xi)=I)=1
若选
I¯=1N∑i=1Ng∗(Xi)
则I¯依概率1收敛到I。平均值法就用I¯作为I的近似值。
假设要计算的积分有如下形式
I=∫bag(x)dx
其中被积函数g(x)在区间[a,b]内可积。任意选择一个有简便办法可以进行抽样的概率密度函数fX(x)，使其满足下列条件：
当g(x)≠0时，fX(x)≠0（a≤x≤b）
∫bafX(x)dx=1
如果记
g∗(x)=⎧⎩⎨⎪⎪g(x)fX(x),0,fX(x)≠0fX(x)=0
那么原积分式可以写成
I=∫bag∗(x)fX(x)dx
因而求积分的步骤是：
产生服从分布律fX的随机变量Xi (i=1,2,⋯,N)；
计算均值
I¯=1N∑i=1Ng∗(Xi)
并用它作为I的近似值，即I≈I¯。
如果a,b为有限值，那么fX可取作为均匀分布：
fX(x)=⎧⎩⎨1b−a,0,a≤x≤botherwise
此时原来的积分式变为
I=(b−a)∫bag(x)1b−adx
具体步骤如下：
产生[a,b]上的均匀分布随机变量Xi (i=1,2,⋯,N);
计算均值
I¯=b−aN∑i=1Ng(Xi)
并用它作为I的近似值，即I≈I¯。
平均值法的直观解释
下面是来自参考文献【1】的一个例子。注意积分的几何意义就是[a,b]区间内曲线下方的面积。
当我们在[a,b]之间随机取一点x时，它对应的函数值就是f(x)，然后变可以用f(x)×(b−a)来粗略估计曲线下方的面积（也就是积分），当然这种估计（或近似）是非常粗略的。
于是我们想到在[a,b]之间随机取一系列点xi时（xi满足均匀分布），然后把估算出来的面积取平均来作为积分估计的一个更好的近似值。可以想象，如果这样的采样点越来越多，那么对于这个积分的估计也就越来越接近。
按照上面这个思路，我们得到积分公式为
I¯=(b−a)1N∑i=0N−1f(Xi)=1N∑i=0N−1f(Xi)1b−a
注意其中的1b−a就是均匀分布的PMF。这跟我们之前推导出来的蒙特卡洛积分公式是一致的。
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「图灵的猫.」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_39521554/article/details/79046646
David 9的博客
五分钟解释什么是蒙特卡罗(Monte Carlo Method)方法
我们经常在各类算法中看到”蒙特卡罗”(Monte Carlo)的字样, 比如MCMC(Markov Chain Monte Carlo) , 还有AlphaGo使用的蒙特卡洛搜索树. 其实, “蒙特卡罗”并不是一个特定算法, 它是一个思想或者方法的统称. 听起来很神秘, 其实用正常”人话”就能简单解释.
维基百科对蒙特卡罗方法（英语：Monte Carlo method）给出的解释是:
二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
与它对应的是确定性算法。
所以说, 蒙特卡罗算出的值, 不是精确的而是一个估计, 但是在人们可以接受的错误范围.
下面是维基百科上一个很直观的例子:
330px-pi_30k
使用蒙特卡洛方法估算π值. 放置30000个随机点后,π的估算值与真实值相差0.07%.
这张图其实很简单, 就像我们玩飞镖一样, 随机地在一个方形平面上投掷30000个飞镖, 事先我们并不知道圆周率π的值究竟是多少, 但是我们知道这里有1/4的圆, 于是我们把红色面积上的点数m, 和蓝色面积上的点数n, 以及圆周率π的关系, 可以写出一个约等于的式子:
π ≈ 4m/(n+m)
随着m+n的投射点的逐渐增加, π值的计算也越来越精确, 最后我们就估计出一个不错的比较精确的π值啦
大家看这个是不是在哪里很熟悉? 没错, 就是大数定律的思想嘛… 只不过大数定理强调统计学中的极限和期望, Monte Carlo方法这是计算机中的模拟, 用有限随机数去计算估计值.
所以Monte Carlo只是这种思想的统称, 与特定算法结合会有不同表现形式.
当然Monte Carlo不只是能估计值那么简单, 它可以用来估计未知分布, 未知模型参数, 等等, 所以在很多抽样方法中有Monte Carlo的身影, 比如大名鼎鼎的MCMC.
接下来我们来趴一趴蒙特卡罗方法的历史:
20世纪40年代，在冯·诺伊曼，斯塔尼斯拉夫·乌拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡洛方法。因为乌拉姆的叔叔经常在蒙特卡洛赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。
bg2015072601
蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，大家都知道, 赌钱这个问题, 一般是没有精确解的. 但是, 只要你是个老赌徒, 那最后, 你会对整个赌局有更全面的认识, 不是吗?
（四）、CSDN:
初学者都能看懂的蒙特卡洛方法以及python实现
https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/82716641A
再给你几篇（很多数学式无法显示，请读原文）：
其中：“统计模拟法、统计试验法。是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。”
“蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。”
都明明白白，说的就是属于统计学范畴的统计问题。使用的都是地地道道的统计学语言和术语。尤其“按抽样调查法求取统计值”“通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值”，等等，明明白白就是统计和统计学问题及术语。
（一）、百度：
https://baike.baidu.com/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%B3%95/1225057
“蒙特卡罗法也称统计模拟法、统计试验法。是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。蒙特卡罗是摩纳哥的著名赌城，该法为表明其随机抽样的本质而命名。故适用于对离散系统进行计算仿真试验。在计算仿真中，通过构造一个和系统性能相近似的概率模型，并在数字计算机上进行随机试验，可以模拟系统的随机特性。“
（二）、MBA智库百科
蒙特卡罗方法
https://wiki.mbalib.com/wiki/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%96%B9%E6%B3%95
未验证，无法复制，请读原文。
（三）、一文详解蒙特卡洛（Monte Carlo）法及其应用
图灵的猫.
已于 2022-09-18 10:17:54 修改
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概述
蒙特卡罗方法是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。
它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
π的计算
第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
无意识统计学家法则（Law of the unconscious statistician）
这是本文后续会用到的一个定理。作为一个预备知识，我们首先来介绍一下它。先来看一下维基百科上给出的解释。
In probability theory and statistics, the law of the unconscious statistician (sometimes abbreviated LOTUS) is a theorem used to calculate the 期望值 of a function g(X) of a 随机变量 X when one knows the probability distribution of X but one does not explicitly know the distribution of g(X). The form of the law can depend on the form in which one states the probability distribution of the 随机变量 X.
If it is a discrete distribution and one knows its PMF function ƒX (but not ƒg(X)), then the 期望值 of g(X) is
E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)
where the sum is over all possible values x of X.
If it is a continuous distribution and one knows its PDF function ƒX (but not ƒg(X)), then the 期望值 of g(X) is
E[g(X)]=∫∞−∞g(x)fX(x)dx
LOTUS到底表达了一件什么事呢？它的意思是：已知随机变量X的概率分布，但不知道g(X)的分布，此时用LOTUS公式能计算出函数g(X)的数学期望。LOTUS的公式如下：
X是离散分布时
E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)
X是连续分布时
E[g(X)]=∫∞−∞g(x)fX(x)dx
其实就是在计算期望时，用已知的X的PDF（或PMF）代替未知的g(X)的PDF（或PMF）。
蒙特卡洛求定积分（一）：投点法
这个方法也常常被用来求π值。现在我们用它来求函数的定积分。如下图所示，有一个函数f(x)，若要求它从a到b的定积分，其实就是求曲线下方的面积。这时我们可以用一个比较容易算得面积的矩型罩在函数的积分区间上（假设其面积为Area）。然后随机地向这个矩形框里面投点，其中落在函数f(x)下方的点为绿色，其它点为红色。然后统计绿色点的数量占所有点（红色+绿色）数量的比例为r，那么就可以据此估算出函数f(x)从a到b的定积分为Area×r。
注意由蒙特卡洛法得出的值并不是一个精确之，而是一个近似值。而且当投点的数量越来越大时，这个近似值也越接近真实值。
蒙特卡洛求定积分（二）：期望法
下面我们来重点介绍一下利用蒙特卡洛法求定积分的第二种方法——期望法，有时也成为平均值法。
任取一组相互独立、同分布的随机变量{Xi}，Xi在[a,b]上服从分布律fX，也就是说fX是随机变量X的PDF（或PMF），令g∗(x)=g(x)fX(x)，则g∗(Xi)也是一组独立同分布的随机变量，而且（因为g∗(x)是关于x的函数，所以根据LOTUS可得）
E[g∗(Xi)]=∫bag∗(x)fX(x)dx=∫bag(x)dx=I
由强大数定理
Pr(limN→∞1N∑i=1Ng∗(Xi)=I)=1
若选
I¯=1N∑i=1Ng∗(Xi)
则I¯依概率1收敛到I。平均值法就用I¯作为I的近似值。
假设要计算的积分有如下形式
I=∫bag(x)dx
其中被积函数g(x)在区间[a,b]内可积。任意选择一个有简便办法可以进行抽样的概率密度函数fX(x)，使其满足下列条件：
当g(x)≠0时，fX(x)≠0（a≤x≤b）
∫bafX(x)dx=1
如果记
g∗(x)=⎧⎩⎨⎪⎪g(x)fX(x),0,fX(x)≠0fX(x)=0
那么原积分式可以写成
I=∫bag∗(x)fX(x)dx
因而求积分的步骤是：
产生服从分布律fX的随机变量Xi (i=1,2,⋯,N)；
计算均值
I¯=1N∑i=1Ng∗(Xi)
并用它作为I的近似值，即I≈I¯。
如果a,b为有限值，那么fX可取作为均匀分布：
fX(x)=⎧⎩⎨1b−a,0,a≤x≤botherwise
此时原来的积分式变为
I=(b−a)∫bag(x)1b−adx
具体步骤如下：
产生[a,b]上的均匀分布随机变量Xi (i=1,2,⋯,N);
计算均值
I¯=b−aN∑i=1Ng(Xi)
并用它作为I的近似值，即I≈I¯。
平均值法的直观解释
下面是来自参考文献【1】的一个例子。注意积分的几何意义就是[a,b]区间内曲线下方的面积。
当我们在[a,b]之间随机取一点x时，它对应的函数值就是f(x)，然后变可以用f(x)×(b−a)来粗略估计曲线下方的面积（也就是积分），当然这种估计（或近似）是非常粗略的。
于是我们想到在[a,b]之间随机取一系列点xi时（xi满足均匀分布），然后把估算出来的面积取平均来作为积分估计的一个更好的近似值。可以想象，如果这样的采样点越来越多，那么对于这个积分的估计也就越来越接近。
按照上面这个思路，我们得到积分公式为
I¯=(b−a)1N∑i=0N−1f(Xi)=1N∑i=0N−1f(Xi)1b−a
注意其中的1b−a就是均匀分布的PMF。这跟我们之前推导出来的蒙特卡洛积分公式是一致的。
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「图灵的猫.」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_39521554/article/details/79046646
David 9的博客
五分钟解释什么是蒙特卡罗(Monte Carlo Method)方法
我们经常在各类算法中看到”蒙特卡罗”(Monte Carlo)的字样, 比如MCMC(Markov Chain Monte Carlo) , 还有AlphaGo使用的蒙特卡洛搜索树. 其实, “蒙特卡罗”并不是一个特定算法, 它是一个思想或者方法的统称. 听起来很神秘, 其实用正常”人话”就能简单解释.
维基百科对蒙特卡罗方法（英语：Monte Carlo method）给出的解释是:
二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
与它对应的是确定性算法。
所以说, 蒙特卡罗算出的值, 不是精确的而是一个估计, 但是在人们可以接受的错误范围.
下面是维基百科上一个很直观的例子:
330px-pi_30k
使用蒙特卡洛方法估算π值. 放置30000个随机点后,π的估算值与真实值相差0.07%.
这张图其实很简单, 就像我们玩飞镖一样, 随机地在一个方形平面上投掷30000个飞镖, 事先我们并不知道圆周率π的值究竟是多少, 但是我们知道这里有1/4的圆, 于是我们把红色面积上的点数m, 和蓝色面积上的点数n, 以及圆周率π的关系, 可以写出一个约等于的式子:
π ≈ 4m/(n+m)
随着m+n的投射点的逐渐增加, π值的计算也越来越精确, 最后我们就估计出一个不错的比较精确的π值啦
大家看这个是不是在哪里很熟悉? 没错, 就是大数定律的思想嘛… 只不过大数定理强调统计学中的极限和期望, Monte Carlo方法这是计算机中的模拟, 用有限随机数去计算估计值.
所以Monte Carlo只是这种思想的统称, 与特定算法结合会有不同表现形式.
当然Monte Carlo不只是能估计值那么简单, 它可以用来估计未知分布, 未知模型参数, 等等, 所以在很多抽样方法中有Monte Carlo的身影, 比如大名鼎鼎的MCMC.
接下来我们来趴一趴蒙特卡罗方法的历史:
20世纪40年代，在冯·诺伊曼，斯塔尼斯拉夫·乌拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡洛方法。因为乌拉姆的叔叔经常在蒙特卡洛赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。
bg2015072601
蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，大家都知道, 赌钱这个问题, 一般是没有精确解的. 但是, 只要你是个老赌徒, 那最后, 你会对整个赌局有更全面的认识, 不是吗?
（四）、CSDN:
初学者都能看懂的蒙特卡洛方法以及python实现
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锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-04-24 17:51:18
