楼下平先生的方法用余弦定理，稍微简单些。

如前帖，记α为左边三角形x和a之间的夹角。前帖已求出cos(α)=2/√(13)，sin(α)=3/√(13)。
记β为右边三角形x和a之间的夹角，显然α+β=90。从而cos(β)=3/√(13)，sin(β)=2/√(13)。

上一帖已经有
sin(C)/sin(B)=16√(13)/[24√(5)]，即
（*) sin(C)=2√(13) sin(B)/[3√(5)]。

俺还是继续用正弦定理。对左右两个小三角形用正弦定理可得：
\(\frac{x}{a}=\cos \alpha + \sin \alpha \cos B/\sin B=
\cos \beta + \sin\beta \cos C/\sin C\)
把上面α和β的正弦值代进去，并用（*）公式（即sin(C)是sin(B)的函数），记u=sin(B)，
cos（B）=√(1-u*u)，可把前一方程化为
\(\frac{2}{\sqrt{13}}+\frac{3}{\sqrt{13}}\frac{\sqrt{1-u^2}}{u}
=\frac{3}{\sqrt{13}}+\frac{3\sqrt{5}}{13}\frac{\sqrt{1-52u^2/45}}{u}\)

化简、移项可得
\(3\sqrt{1-u^2}-\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{13}}\sqrt{1-52u^2/45}=u\)
两边平方，记\(v=u^2\)，再移项再平方便得到v 的一元二次方程。解之可得v=9/13。从而
sin B=sin α。
即a=√(13)。

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-09-07 15:30:02