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独立评论

所跟帖: 脝陆脮媒 脭脵脕陆脤芒拢潞   2023-05-10 19:49:36  


作者: 脠眉脌楼   碌脷脪禄脤芒拢潞4隆拢碌脷露镁脤芒=2隆拢 2023-05-10 22:19:43  [点击:1497]

第一题:
设正方形边长为a,半径为r。显然r=a×√(2)。


由下方的直角三角形可求出:a=4√(3),r=4√(6)
θ=arctan √(2)。
sinθ=4√(3)/12=√(3)/3。(公式1)

∠BAO=90+θ(已求出)。
sin(90+θ)=cosθ=4√(6)/12=√(6)/3。

△OAB中,AO=4√(3),OB=4√(6),∠BAO 均为已知,
由正弦定理,
sin ∠ABO =√(1/2)×sin(90+θ)=√(3)/3。(公式2)
由公式(1) 和(2) 可知
∠ABO = θ (公式3)


再用正弦定理可以求出x:
x=AO×sin ∠AOB / sin ∠ABO
=[4√(3)×3/√(3)]×sin ∠AOB
=12 × sin ∠AOB

注意90-θ是△ABO的外角,所以∠AOB=90-θ- ∠ABO
由公式(3),∠AOB=90-2θ
sin ∠AOB =cos(2θ)
=2cosθ cosθ -1
=2 ×6/9-1
=1/3.

故x=12 × sin ∠AOB =4。


第二题。
如图连接AB。易证△ABC与左下方直角三角形全等。所以AB=3。
设AC=d。
以O为原点设立坐标系,则B的坐标为(3,3+d)
由 3×3+ (3+d)×(3+d)=5×5可知,d=1。

所以正方形边长=√(10)

在右下方的三角形中,右边的角=∠ABC=arctan (1/3),另两边长度分别为√(10)和(5-1)。
x可用余弦定理求出。

cos∠ABC=3/√(10).

x=10+16-2×√(10)×4 cos(∠ABC)=2
锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-05-10 23:48:13

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