仿射坐标系

设 i，j 是平面上两个线性无关的向量。 则对于平面上任一向量p ， 存在唯一一组实数x，y ， 使得 p = x i + y j . 现在我们在平面上选定一点O作为原点， 则平面上任意一点P， 令p = 向量OP， 由此产生的 实数组 x，y 就是点P的坐标， 从原点O出发， 平行于i 的直线称为x轴， 从原点O出发， 平行于j 的直线称为y轴，这样就构成了一个仿射坐标系。 注意由于可以通过线性变换将直角坐标系变为这样的仿射坐标系， 所以一个二元线性方程代表平面上的一条直线， 而一条直线也可用一个二元线性方程来表示。

回到平教授的问题来。 设 i，j 是两个单位向量， 设点D为原点，i 平行于三角形的底边， 指向\( C \)， j 平行于\( AD \)， 指向\( A\)。 于是 i 与j 之间的夹角为\( \alpha。\) 在这个坐标系下， 平面上任意一点 \( (X,Y) \)与原点距离的平方， 按照余弦定理， 等于\[ X^2 + Y^2 + 2XY \cos\alpha \].
再假定 三角形底边长度为2， \( ED\)长度为\( m\)。我们决定各点的坐标。\( D（0，0）\)显然的。 此外
\( A(0, 1+m) \);
\( B( -1,0) \);
\( C( 1,0) \);
\( E( 0,m) \);

\( F \)的坐标是什么？注意它是直线\( BE\)与\( AC\)的交点。 只要解出直线\( BE\)与\( AC\)相应的二元线性方程组就可以了。

直线\( BE\)的截距式方程为\[ -x + \frac{y}{m} = 1;\] 或 \[ y = m ( 1 + x), \] 代入到 直线\( AC\)的方程\[ x + \frac{y}{1+m} = 1, \] 解出 \[ x = \frac{1}{2m + 1}, 与 y = m + \frac{m}{2m + 1} .\]
\[ 即F(\frac{1}{2m + 1},m + \frac{m}{2m + 1} )\].

下面， 用各点的坐标， 前面提到的距离平方的公式， 列出\( AF= FE \)的方程， 以求出 \( \alpha \) 的值。

我们用 \( Ax， Ay \)分别表示 \(AF\)在 \(x， y\)轴的投影，\(Ax= 1/(2m +1)\), \( Ay= m + m/(2m + 1)-1-m =-(m+1)/(2m +1)\).
同样，\( Ex， Ey \)分别表示 \(EF\)在 \(x， y\)轴的投影，\( Ex= 1/(2m +1)\), \( Ey= m + m/(2m + 1)-m =m/(2m +1)\)。

因为\( AF ，EF\) 长度相等， 就有下面的方程：\[Ax^2 + Ay^2 + 2AxAy\cos\alpha = Ex^2 + Ey^2 + 2ExEy\cos\alpha ，\] 由于 \( Ax = Ex = 1/(2m + 1)\), 消去这两个平方项并移项， \[ (Ay + Ey)(Ay - Ey) = 2Ax(Ey - Ay)\cos \alpha \]又\( Ay + Ey = - 1/(2m+1) = -Ax\), 所以 \( 2\cos\alpha =1\), \( \alpha = \)60°.

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-08-11 06:45:31