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独立评论

所跟帖: 脝陆脮媒 脌麓脪禄碌脌脝陆脙忙录赂潞脦脤芒   2023-03-07 18:26:30  


作者: 脠眉脌楼   隆脤(5) r 2023-03-07 20:36:40  [点击:1170]


连接AOC,OE和OB。
记x=BC=AB。记EB中点为F。由已知条件可得FB=x/3。
注意,(1):∠FBO = ∠EBO (F没在图中标出),

在△OBC中,
(2):tan(∠OCB)=r/x。
在△OFB中 (图中没画出),tan (∠FBO)=tan (∠EBO),(公式 (1))。
由三角函数定义
(3): tan (∠EBO)= \(\frac{\sqrt{r^2-(x/3)^2}}{(x/3)}\)

在△ABC中,
∠B=∠EBO+∠OBC=∠EBO+90°.另一方面
∠B=180°-2×∠OCB。即
(4):∠EBO+90°=180°-2×∠OCB。

将(2),(3)代入(4):
arctan (\(\frac{\sqrt{r^2-(x/3)^2}}{(x/3)}\)) +90°=180°-2× arctan (r/x)。

两边取正切(用三角公式):
\(-\frac{x/3}{\sqrt{r^2-x^2/9}}=-\frac{2r/x}{1-r^2/x^2} \)
化简:
\(x^2-r^2=6r\sqrt{r^2-x^2/9}\)。
解之即得 \(x^2=5r^2\)
锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-03-07 20:45:32

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